量子物理复习笔记

复习课上的作业复习

玻尔模型
1. $r_1=0.053nm,v_1=\alpha c=c/137,E_1=-13.6 eV$
2. $Z > 1, r_n’=r_n/Z, v_n’=Zv_n, E_n’=Z^2E_n$
解定态问题，一维无限深势阱要会且能背解，更复杂的如一维有限深等不要求，谐振子问题就算考也会给出一维结论，概率流密度守恒也不要求
1. 以势函数写出分段薛定谔方程
2. 用k代替质量、能量项，常见为$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$
3. 把薛定谔方程写成常微分方程
4. 写出含待定系数的势函数通解，常为$Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$或$Ae^{kx}+Be^{-kx}$，取决于$\pm$
经典实验内容会考
量子计算会涉及Bloch球和跟电子自旋、泡利矩阵有关的内容
算符计算：
1. 动量算符不会给
2. 基本对易式如角动量对易关系不会给
3. 泡利矩阵会给出来，相关计算要会

第一章量子物理基础

知识部分1

黑体辐射与普朗克能量子假说
1. 单色辐出度$M(\lambda, T)=dE_{\lambda}/d\lambda \; W/m^3$
2. 总辐出度$M(T)=\int_0^{\inf} M(\lambda, T)d\lambda \; W/m^2$
3. 基尔霍夫辐射定律：不同温度下物体的单色辐出度与单色吸收比的比值相等，等于黑体单色辐出度；黑体辐射定律：
  1. 斯特藩-玻尔兹曼定律：$M_0 (T)=\sigma T^4 ,\; \sigma=5.67 \times 10^{-8}W/(m^2 \cdot K^4)$
  2. 维恩位移定律：$\lambda_m T=b ,\; b=2.897 \times 10^{-3} \; m \cdot K$
4. 普朗克公式：$M_0 (\lambda, T)=2\pi hc^2\lambda^{-5} \frac{1}{e^{hc/k_B T\lambda}-1}$
光量子
1. 光电效应方程：$h\upsilon=\frac{1}{2}mv_m^2+A$
2. 波粒二象性：光的动量 $p=mc=\frac{h\upsilon}{c}=\frac{h}{\lambda}$
3. 康普顿效应：$\theta$为相对于入射方向的偏转角， $\begin{aligned} \Delta \lambda &=\lambda - \lambda_0=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta) \\ \lambda_c&=\frac{h}{m_ec}=2.43 \times 10^{-12}m=0.0243\mathring{A}\; (\mathring{A}=10^{-10}m) \end{aligned}$
玻尔理论
1. 里德伯方程：$\tilde{\upsilon}=\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})=T(m)-T(n), \; R_H=109677.58 cm^{-1}$
2. 角动量量子化条件：$L=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar, \; n=1,2,3,…$
3. 氢原子玻尔半径与波尔能量： $\begin{aligned} r_n &=\frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}n^2=0.529 n^2 \mathring{A} \\ E_n &=-\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r_n}+\frac{1}{2}m_e v_n^2=-\frac{m_e e^4}{32\epsilon_0^2 h^2 n^2}=\frac{-13.6}{n^2} eV\end{aligned}$
4. 类氢原子玻尔半径、能量与里德伯方程：设$Z$为原子核电荷数， $\begin{aligned} r_n &=0.529\frac{n^2}{Z}\mathring{A} \\ E_n &=-13.6\frac{Z^2}{n^2}eV \\ \frac{1}{\lambda} &=R_H Z^2(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \end{aligned}$
物质波：$\lambda=\frac{h}{p}, \; \upsilon=\frac{E}{h}$
不确定度关系：$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}, \; \Delta y \Delta p_y \geq \frac{\hbar}{2}, \; \Delta z \Delta p_z \geq \frac{\hbar}{2}$，比如给定$\Delta x$，可以估算此方向上速度的不确定度。
薛定谔方程：$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(r,t)\Psi$, 哈密顿量算符$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r,t)$
波函数
1. 概率密度与归一化条件：$\rho=\Psi(r,t)^*\Psi(r,t)=|\Psi(r,t)|^2, \; \iiint\rho(r,t)d\tau=1$
2. 概率流密度： $J=-\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*), \; \nabla \cdot J=\frac{\partial \rho}{\partial t}$
3. 态叠加原理：$\Psi=\sum_i c_i\psi_i$
4. 定态薛定谔方程：波函数中的含时项总是$e^{-\frac{iE_n t}{h}}$，因此可以分离波函数的时间和位置函数，$\hat{H}\psi(r)=E\psi(r)$,$E$为分立的能量本征值
算符：由于微观物理量具有不确定性，总是要与波函数相关联，算符其实就是波函数的变换
1. 平均算符：如$\langle r \rangle = \iiint r|\Psi(r,t)|^2 dxdydz$
2. 对易括号：$[\hat{F}, \hat{G}]\triangleq \hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F}$，验证对易性时通常带上波函数
3. 算符性质：
  1. 线性(量子力学中只讨论线性算符)
  2. 算符相等：$\hat{F}\psi_1=\hat{G}\psi_1 \longrightarrow \hat{F}=\hat{G}$
  3. 算符加法：$\hat{F}\psi+\hat{G}\psi=(\hat{F}+\hat{G})\psi$
  4. 算符乘法：满足分配律和结合律，交换律一般不成立，即对易符号$[\hat{F},\hat{G}]\triangleq\hat{F}\hat{G}-\hat{G}\hat{F}\neq0$
  5. 狄拉克符号表示波函数：左矢$\langle x|$、右矢$|x\rangle$、内积$\langle x|y\rangle$、单位基矢$|e_i\rangle$
  6. 克罗内克符号：$\begin{aligned}\delta_{ij} \triangleq \langle e_i|e_j\rangle=\begin{cases}1, \; i=j \\ 0, \; i \neq j\end{cases}\end{aligned}$
4. 线性自厄(厄米)算符：力学量对应线性厄米算符，厄米算符满足$\langle\hat{A}\rangle=\iiint\psi^\hat{A}\psi dxdydz=实数$，或者$\hat{F}$满足$\iiint\psi^\hat{F}\varphi dxdydz=\iiint(\hat{F}\psi)^*\varphi dxdydz$
5. 动量算符：$\hat{p_x}\triangleq -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$，它与$x$是不对易的，也可以利用与坐标的关系$p_x=m\frac{dx}{dt}$
6. 动能算符：$\hat{T}\triangleq \frac{\hat{p}^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$
7. 能量算符：由定态薛定谔方程，$\hat{E}=\hat{H}$，$E=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$
8. 角动量算符：量子情况下，$\hat{L^2}$与$\hat{L_z}$的本征值谱是分立的，分别为$L^2=l(l+1)\hbar, \; L_z=m\hbar$，其中$l$与$m$为量子数，$m=0, \pm 1, …, \pm l$。在直角坐标系中： $\begin{aligned}\hat{L} &=\hat{r} \times \hat{p} \\ &=(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}) \times (\hat{p_x}\overrightarrow{i}+\hat{p_y}\overrightarrow{j}+\hat{p_z}\overrightarrow{k}) \\ &=\hat{L_x}\overrightarrow{i}+\hat{L_y}\overrightarrow{j}+\hat{L_z}\overrightarrow{k} \\ \hat{L^2} &=\hat{L_x^2}+\hat{L_y^2}+\hat{L_z^2} \\ \hat{L_x} &= y\hat{p_z}-z\hat{p_y} \\ [\hat{L_i}, \hat{L_j}]&=i\hbar \hat{L_k} \end{aligned}$ 而在球坐标系中，代入球坐标$(r,\theta,\phi)$表示后： $\begin{aligned} \hat{L_z}&=-i\hbar\frac{\partial}{\partial \phi} \\ \hat{L^2}&=-\hbar^2[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}] \\ \hat{L_x}&=i\hbar(\sin\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial\phi}) \\ \hat{L_y}&=i\hbar(-\cos\phi\frac{\partial}{\partial\theta}+\cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial\phi}) \end{aligned}$
本征值与本征函数：$\hat{F}$作用于函数$u$有$\hat{F}u=\lambda u$时，$\lambda$为算符的本征值，$u$为算符的本征函数(类似于矩阵的特征值与特征向量)。
- 对于同一个本征值，有几个线性无关本征函数即简并度为几。只有一个称为无简并
- 若$\hat{F}$是厄米算符，它的本征值为实数
- 厄米算符不同本征值的本征函数是正交的
- 归一化的波函数除了不同本征值的波函数归一化，不同本征态的概率也是归一化的，由此可以算能量的期望值
- 两个力学量的算符可以对易时它们具有共同本征函数(本征态)，仅此时测量这两个力学量能同时有确定值，不然满足不确定度关系： $\Delta A\Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle [\hat{A}, \hat{B}]\rangle| \\ (\Delta A)^2=\langle \psi | (\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)^2 | \psi \rangle=\langle \hat{A}^2\rangle-\langle \hat{A}\rangle^2$
- 用本征态函数表示态函数：$\Psi=\sum_{i=1}^n C_i\psi_i,C_i=\int{\psi_i^*\Psi}$
表象：表象类比坐标系，表象的基矢组即他们的正交归一化本征态类比基向量，幺正变换类比坐标系间变换
1. 表象中的波函数：${C_l}=(C_1,C_2,…,C_l,…)$，态矢可以表示为基矢的线性叠加$|\psi\rangle=\sum_l C_l | u_l\rangle$，本征矢在表象中的矩阵形式是相互独立的列向量，而波函数可以表示为它们的线性组合即$\psi^T(F)=[C_1, …, C_l, …]$
2. 算符在表象中的矩阵表示：$\hat{X}$在$\hat{F}$表象中，$X_{ij}=\langle u_i|X|u_j \rangle$，该矩阵形式可以在本征值方程、薛定谔方程中使用
3. 自厄算符的矩阵性质：$A$的厄米共轭矩阵$A^\dagger=(A^*)^T$，$A$是自厄算符时，$A=A^\dagger$
4. 矩阵求本征值和本征态：解$det(X-\lambda I)=0$得本征值$\lambda$，将每个$\lambda$代入$(X-\lambda I)C=0$解出$C$即本征态
5. 幺正变换：$[|g_i\rangle]=S[|u_i\rangle]$，$S$是正交矩阵，$S^T=S^{-1}$。设$|\psi\rangle=\sum_l C_l | u_l\rangle$，求$|\psi\rangle=\sum_l A_l | g_l\rangle$中的$A_l$时，$A=S^\dagger C$，$F(B)=S^\dagger F(A)S$ $A_l=\langle g_l|\psi\rangle=\sum_i \langle g_l|u_i\rangle\langle u_i | \psi \rangle=\sum_i \langle g_l | u_i\rangle C_i=\sum_i S^*_{il}C_i$
电子自旋：
1. 施特恩-格拉赫实验：测量原子的磁矩，原子磁矩由电子自旋运动产生，且只有两个方向：平行与反平行
2. 角动量：
  1. 普遍角动量算符$\hat{J}^2$的本征值$J^2=j(j+1)\hbar^2$，其中$j$是角动量量子数，整数或半整数
  2. 角动量分量算符如$\hat{j_z}$的本征值为$j_z=m\hbar, \; m=-j,-j+1,…,j-1,j$，共$2j+1$个可能值
  3. 分量算符满足对易关系$[\hat{J_i}, \hat{J_j}]=i\hbar\hat{J_k}$
  4. 自旋角动量算符$\hat{S}^2$的本征值为$S^2=s(s+1)\hbar^2$，其中$s=\frac{1}{2}$
  5. 自旋角动量分量算符如$\hat{S_z}$的本征值为$S_z=m_s \hbar, \; m_s$也有$2s+1$个可能值，但由实验事实知只有两个，故$2s+1=2, \; m_s=\pm \frac{1}{2}$
  6. 泡利自旋算符$\hat{\sigma}$，满足$\hat{S}=\frac{\hbar}{2}\hat{\sigma}$，其分量算符本征值均为$\pm 1$，且为二维矩阵如下(以$\hat{S_z}$为表象) $\begin{aligned} & \sigma_x=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \;\; \sigma_y=\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix} \;\; \sigma_z=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \\ &\sigma_i^2=I, \;\; \sigma_x\sigma_y=i\sigma_z \end{aligned}$
  7. 自旋波函数如$\hat{S_z}$的本征态$\chi_1=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \; \chi_{-1}=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$分别对应于自旋方向平行于z轴与反平行的，它们是由$\hat{S_z}\chi=\frac{\hbar}{2}\sigma_z \chi=\frac{\hbar}{2}\chi$计算得到的，我们通常以$\hat{S_z}$为表象计算其他自选波函数

例题习题1

电子单缝衍射实验中衍射条纹中心最大宽度：$w=\frac{2\lambda D}{a}$ $a$缝宽、$D$缝屏距
微观粒子在温度为$T$时的动能：$E=3kT/2$
$\alpha$粒子是$He$原子核
$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2}=\sqrt{\pi}$
由$\Psi(x,0)=\sum_i C_i \psi_i(x)$得$\Psi(x,t)=\sum_i C_i \psi_i(x) e^{-iE_i t/\hbar}$，$E_i$为能量本征值，可由定态薛定谔方程计算
计算$\hat{\sigma}$的点积时可以将其看作$(\hat{\sigma_x}, \hat{\sigma_y}, \hat{\sigma_z})$
计算$\langle \hat{L_x} \rangle$可以利用已知的本征方程$\hat{L_z}Y_{lm}=m\hbar Y_{lm}$和$[\hat{L_y}, \hat{L_z}]=i\hbar\hat{L_x}$

第二章定态问题

知识2

一维方势垒：根据定态薛定谔方程和波函数连续条件，可以解出系数代表粒子入射、透射、反射的概率开根号，如，其中$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},k’^2=\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}$
1. 概率流密度：以入射波为例，$J_i=|A|^2\hbar k/m$
2. 反射波系数：$R=|\frac{J_r}{J_i}|=|\frac{A’}{A}|^2=\frac{(k^2+k’^2)^2\sinh^2(k’a)}{(k^2+k’^2)^2\sinh^2(k’a)+4k^2k’^2}$
3. 透射波强度：$T=|\frac{J_t}{J_i}|=|\frac{C}{A}|^=\frac{4k^2k’^2}{(k^2+k’^2)^2\sinh^2(k’a)+4k^2k’^2}$，$T+R=1$
有限深势阱：根据定态薛定谔方程、波函数及其一阶导数连续条件、波函数标准条件($x\rightarrow \pm \infty,\psi(x)\rightarrow 0$)，势阱宽为$2a$
1. 本征函数：$\psi=\begin{cases}A\sin(kx+\delta), &|x|<a \\
  Be^{-k’x}, &x>a \\ Ce^{k’x}, &x<-a\end{cases}$，$\delta$可能是$\pi$的整数倍或半整数倍，其中半整数倍时$\psi_S$是偶函数，称为偶宇称；整数倍时$\psi_A$是奇函数，称为奇宇称
2. 能量本征值：$u=ka,v=k’a$，由两式$\begin{cases}u\cot(u+\delta)=-v \\ u^2+v^2=\frac{2mV_0}{\hbar^2}a^2\end{cases}$，分奇偶宇称可以画图得到能级数与$V_0 a^2$的关系
3. 无限深势阱：$V_0=\infty$。能量本征值$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}$，在题中随势阱宽度变化而变化；阱外波函数为0，波函数$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{1}{a}}\sin[\frac{n\pi}{2a}(x+a)], \; |x|<a$，在不同题中随势阱对称轴平移
线性谐振子：$V=\frac{1}{2}\mu \omega^2x^2$，$\mu$是谐振子的质量。令$\xi=\sqrt{\mu\omega/\hbar},\lambda=2E/(\hbar\omega)$
- 薛定谔方程可以改写为$\frac{d^2}{d\xi^2}\psi(\xi)+(\lambda-\xi^2)\psi(\xi)=0$
- 满足条件$\lambda-1=2n=0,2,4,…$时$E_n=\frac{\lambda}{2}\hbar\omega=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$
- 本征函数：$\psi_n(x)=N_nH_n(\xi)e^{-\xi^2/2}$
- 波函数的性质：
  1. $n$偶有偶宇称，$n$奇有奇宇称
  2. 最低能态是偶宇称$n=0$
  3. 量子数的跃迁只可能是$\pm 1$
氢原子：$V(r)=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$
1. 本征函数：哈密顿算符、角动量平方算符与角动量投影分量算符有共同本征函数$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi), \; 球谐函数Y_{lm}(\theta, \phi)=N_{lm}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}$
2. 电子束缚态：能量$E<0$时，本征值谱分立；$E>0$，本征值谱连续，电子可以自由运动
3. 量子数：三个重要的量子数$(n,l,m_l)$，电子可以表示为形如$nl^{m_l}$，如$1s^2,2p^6$
  - $n$表征能量量子化，$1K,2L,3M,4N,5O,…$(主量子数)，能级公式与玻尔公式相符
  - $l$表征电子轨道角动量量子数(角量子数)，与$l=0,1,2,3,4,…,n-1$对应的是电子轨道$s,p,d,f,g,…$
  - $m_l$表征电子轨道角动量在外磁场的投影分量量量子化，$-l,…, 0,…, l$(磁量子数)
  - 此外还有$m_s$表征电子自旋方向，$\pm\frac{1}{2}$(自旋磁量子数)
4. 类氢离子：只有一个电子，相关公式已放进第一章玻尔理论
5. 电子概率分布：有径向和角向分布，分别将对方在全定义域积分
  - 径向分布：$W_{nl}dr=r^2 dr\int d\Omega|\psi_{nlm}(r,\theta,\phi)|^2=|R_{nl}(r)|^2 r^2 dr$，可以理解为电子出现在$(r,r+dr)$球壳的概率
  - 角向分布：$d\Omega\int |R_{nl}Y_{lm}(\theta,\psi)|^2 r^2 dr=|Y_{lm}(\theta,\phi)|^2 d\Omega=|\Theta(\theta)|^2 d\Omega$
6. 泡利不相容原理：不可能有复数的费米子(自旋为半整数的粒子，整数的叫玻色子)处于同一量子状态，即四个量子数不可能完全相同。由此原子中具有相同主量子数$n$的电子数最多为$N_n=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)2=2n^2$

例题习题2

假设$\psi_{lm}(r,\theta,\phi)=\psi(r)$，径向概率密度$W_{lm}=\int |\psi(r)|^2d\Omega=4\pi |\psi(r)|^2,\;d\Omega=\sin\theta d\theta d\phi$
$\sum_{n \; odd\; from\; 1\; to\; \infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{8}$
遇到二维各向同性谐振子，可以分离$\psi=\psi(x)\psi(y)$，列两个式子，而$E=E_x+E_y$，它们可以分别有量子数$n_x,n_y$，而能级取决于它们的和
一维谐振子：$\langle x\rangle=0,\langle x^2\rangle=(n+1/2)\hbar/(\mu\omega),\langle p\rangle=0,\langle p^2\rangle=(n+1/2)\mu\omega\hbar$，故$\Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-0},\;\Delta p=\sqrt{\langle p^2\rangle - 0}$
类氢原子二体问题：能级出现的质量为折合质量，$\mu=\frac{m_e M}{m_e+M}$，而能级公式为$E_n=-13.6\mu /n^2 eV$

补充

电子自旋相关

氢原子内磁场与电子自旋-轨道相互作用能：$Z$是原子核电荷数 $\overrightarrow{B_e}=\frac{\mu_0 \overrightarrow{j}\times\overrightarrow{r}}{4\pi r^3}=\frac{ Z^*e\overrightarrow{L}}{4\pi\epsilon_0 mr^3} \\ \Delta E_{l,s}=-\overrightarrow{\mu_s}\cdot\overrightarrow{B_e}=\frac{1}{2}\frac{Z^*e^2}{4\pi \epsilon_0 m^2 r^3}\overrightarrow{S} \cdot \overrightarrow{L}$
电子总角动量：$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$，总量子数$j$，$J=\sqrt{j(j+1)}\hbar$
1. $l=0$时，$j=s$
2. $l\neq 0$时，$j=l\pm \frac{1}{2}$
3. 碱金属原子态：$n^{2s+1}L_j$
4. $z$方向分量$J_z=m_j\hbar,\;m=-j,…,j$
5. 两总角动量相加$\overrightarrow{J’}=\overrightarrow{J_1}+\overrightarrow{J_2}, \; J’^2=j’(j’+1)\hbar^2, \; j=|j_1-j_2|,…,j_1+j_2$
6. 外磁场B中的原子能级分裂：$\Delta E=-\overrightarrow{\mu_J}\cdot\overrightarrow{B}=-\mu_{jz}B=m_j g_j \mu_B B, \; m_j=-j,-(j-1),…,j-1,j$，朗德g因子$g=1+\frac{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}$
7. 塞曼效应：外磁场条件下原子两个能级间的跃迁存在多重可能性，$h\upsilon’=(E_2-E_1)+(m_{j2}g_2-m_{j1}g_1)\mu_BB,\;\tilde{\upsilon}’-\tilde{\upsilon}=\frac{1}{\lambda’}-\frac{1}{\lambda}=(m_{j2}g_2-m_{j1}g_1)L,\; L=\frac{\mu_B B}{hc}=\frac{eB}{4\pi m_ec}$。似乎能理解了，塞曼效应现象的原因来自电子能级跃迁和电子自旋，其中，正常塞曼效应总自旋为0，只有电子跃迁会影响谱线，即j不跃迁、+1、-1三条线；反常塞曼效应总自旋不为0，自旋方向也会影响谱线，即新增乘2
  - 正常：单态谱线在外磁场中的三分裂，体系总自旋为0，$g_2=g_1=1$，$h\upsilon’=(E_2-E_1)+\Delta m_j\mu_BB,\;,\Delta m_j=0,\pm 1$，三条谱线
  - 反常：非单态谱线在外磁场中的四分裂或六分裂，体系总自旋不为0，偶数条谱线
8. 斯特恩-盖拉赫实验：碱金属线间距$\Delta z=g\mu_B\frac{\partial B}{\partial z}\frac{dD}{3kT}$，玻尔磁子$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$

电子组态

双电子耦合：如$1s2p$，需要满足Pauli不相容原理
1. 两种电子耦合方式：L-S耦合和j-j耦合
2. Pauli不相容原理：同科电子($n,l$相同的电子，如1s1s是而1s2p不是)$L+S$必为偶数，即$m_l,m_s$必有不同的
3. 洪特定则：同一电子组态形成三重态的能量总比单重态低
  1. S越大，能级越低（电子自旋平行，分据不同轨道取向）
  2. S相同，L值越大，能级越低（电子自旋相反，轨道取向可相同）
  3. 同科电子，L相同，
    - 同科电子数<=闭壳层占有数的一半，J越小，能级越低
    - 同科电子数>闭壳层占有数的一半，J越大，能级越低